Platonische Körper
Der Raum des Automaten entspricht dem Gitter einer dreidimensionalen Kubisch-dichtesten-Kugelpackung, auch fcc-Gitter genannt. Dieses Raumgitter wird ausschließlich durch platonische Körper gebildet:
- Tetraeder-Gegentetraeder
- Oktaeder
- Würfel
Die platonischen Körper Dodekaeder und Ikosaeder sind im Gitter nicht vorhanden oder erst mit unendlicher Kantenlänge realisiert.
Tetraeder-Gegentetraeder
Nicht nur die Materie ist dualistisch (z.B. Elektron/Positron), sondern auch der
Raum. Er wird gebildet durch Tetraeder und Gegentetraeder - also Raum und
Gegenraum.
Oktaeder
Der Oktaeder
ist gewissermaßen die Figur des Gleichgewichtes: Es enthält
gleich viele Dreieicke der Identität als auch der Nichtidentität.
Würfel
Der Würfel ist
die Raum füllende Figur des Gitters. Die eingezeichneten Kanten sind im
Gitter nicht vorhanden, sondern veranschaulichen nur die Umrisse des Würfels.
Dualität der platonischen Körper
Interessant ist ebenfalls die Tatsache, dass die platonischen Körper nicht nur symmetrisch sind, sondern dass sie auch zueinander dual sind.Tetraeder und Gegentetraeder sind zueinander dual:
Oktaeder und Würfel sind zueinander dual:
Dodekaeder und Ikosaeder sind zueinander dual:
Platonische Körper als Grundbausteine des Raumes
In der heutigen Physik wird der Raum des Universums als Kontinuum angenommen. Tatsächlich gibt es aber kein physikalisches Experiment, welches diese Annahme belegen würde. Der Raum des Universums könnte genausogut auch diskret - also ein Raumgitter sein.
Wenn das Universum auf dem Prinzip der Symmetrie und damit auch auf dem Prinzip der Dualität gründet und der Raum des Universums ein Gitter ist, dann ist es naheliegend anzunehmen, dass dieses Gitter ebenfalls den Prinzipien der Symmetrie und Dualität unterliegt. Auch die kleinsten Zellen des Gitters wären damit als symmetrisch und dualistisch anzunehmen. Dies trifft auf die platonischen Körper perfekt zu. Sie sind elementar, sie sind symmetrisch, und - wie die obigen Bilder zeigen, sind sie auch dualistisch.
So wie Materie durch Elementarteilchen gebildet wird, so wird der
Raum des Universums durch platonische Körper gebildet. Sie haben
herausragende Bedeutung eben weil sie die elementarsten symmetrischen
Körper sind, und das Universum auf dem Prinzip der Symmetrie gründet.
Die Intuition Platos und anderer, welche den platonischen Körpern
beim Aufbau des Universums eine herausragende Rolle zugeschrieben haben,
erweist sich aus dieser Sicht als zutreffend.
Dodekaeder und Ikosaeder sind im Gitter nicht vorhanden
Beweis, warum Dodekaeder und Ikosaeder im fcc-Gitter nicht existieren
oder erst im Unendlichen durch Gitterpunkte realisiert sein können.
\( \vec{e}_x\,,\,\vec{e}_y\,,\,\vec{e}_z \) sind die Einheitsvektoren
des rechtwinkligen Koordinatensystems
Es lässt sich im fcc-Gitter ein rechtwinkliges Koordinatensystem so legen, dass eine Tetraederzelle mit Seitenlänge 1 das Dreibein aus Einheitsvektoren $$\vec{a}_1 = 0 \cdot \vec{e}_x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \vec{e}_y + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \vec{e}_z $$ $$\vec{a}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \vec{e}_x + 0 \cdot \vec{e}_y + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \vec{e}_z $$ $$\vec{a}_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \vec{e}_x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \vec{e}_y + 0 \cdot \vec{e}_z $$ festlegt, so dass sich von einem Ursprung aus jeder Punkt des fcc-Gitters beschreiben lässt in der Form
\(\vec{p} = r \cdot \vec{a}_1 + s \cdot \vec{a}_2 + t \cdot \vec{a}_3\) (\(r, s, t\) ganze Zahlen)
Der Abstand \(L\) eines Gitterpunktes zum Ursprung berechnet sich dann mit
$$L^2 = \left(\frac{s}{\sqrt{2}} + \frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{r}{\sqrt{2}} + \frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{r}{\sqrt{2}} + \frac{s}{\sqrt{2}}\right)^2 \Rightarrow$$
$$L = \sqrt{r^2 + s^2 + t^2 + r s + r t + s t}$$
Damit im fcc-Gitter Dodekaeder und Ikosaeder im Endlichen durch Gitterpunkte realisiert sein können, müsste es im Gitter auch gleichseitige Fünfecke geben. Damit es Fünfecke geben kann, müsste es im Gitter das Streckenverhältnis des Goldenen Schnittes geben.
Das heisst, von einem Gitterpunkt \(U\) aus gesehen, müsste es zwei Gitterpunkte
\(A\) und \(B\) geben, so dass die Abstände \(a\) und \(b\) das Verhältnis des
Goldenen Schnittes besitzen, also
$$\frac{b}{a} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
Es müssten also im fcc-Gitter zwei Strecken \(a\) und \(b\) existieren mit
\begin{align}
a & = \sqrt{r^2 + s^2 + t^2 + r s + r t + s t}\\
\\
b & = \sqrt{m^2 + n^2 + p^2 + m n + m p + n p}
\end{align}
so dass gilt
$$\frac{\sqrt{m^2 + n^2 + p^2 + m n + m p + n p}}{\sqrt{r^2 + s^2 + t^2 + r s + r t + s t}} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
Dies führt zu einem Widerspruch. Quadriert man beide Seiten, so
ergibt sich
$$\frac{m^2 + n^2 + p^2 + m n + m p + n p}{r^2 + s^2 + t^2 + r s + r t + s t} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$$
was bedeutet, dass die beiden ganzen Zahlen \(m^2 + n^2 + p^2 + m n + m p + n p\) und \(r^2 + s^2 + t^2 + r s + r t + s t\)
durch einen Bruch das irrationale Ergebnis \((3+\sqrt{5})/2\) liefern müssten, was nicht möglich ist.
Daher kann im fcc-Gitter kein gleichseitiges Fünfeck existieren, und daher können auch
Dodekaeder und Ikosaeder im fcc-Gitter nicht exakt durch Gitterpunkte realisiert sein,
was zu beweisen war.